本文研究了纠错码的邻近间隙性质，该性质在交互式预言证明和简洁非交互式零知识论证中具有重要应用。先前Goyal和Guruswami的工作为子空间设计码以及随机线性码、随机求值点的Reed-Solomon码和Gallager的LDPC码等随机码族建立了接近最优的邻近间隙，但随机码族的参数随次数ℓ增加而劣化，且不如子空间设计码的参数。本文通过将局部坐标线性框架扩展到行跨度约束版本，将曲线可解码性（一种蕴含邻近间隙的性质）直接建模为行跨度约束的LCL性质，从而实现了从子空间设计码到随机码族的黑盒迁移：子空间设计码的任何进展都会自动带来随机码族的类似进展。定量上，本文为随机码族获得了与子空间设计码相同级别的邻近间隙，显著改进了先前结果。该工作主要面向编码理论、IOP/SNARK和密码学理论研究者。

该论文提出了基于哈希的同态人工智能（HbHAI）技术，该技术利用一类新型密钥相关哈希函数，能够在保留大多数AI算法所依赖的相似性属性的同时，对加密形式的数据进行分析和处理。与现有的同态加密方案相比，HbHAI在性能上取得了显著提升，甚至优于对明文数据的直接处理。论文报告了两项突破性成果：首先，将压缩率提高了10倍，从而能够在减少计算时间和能耗的同时处理大规模数据集；其次，通过引入重复纠错码，实现了任意降低基于AI的决策测试的最终验证误差。该方法支持在不修改现有AI算法的情况下直接应用于加密数据，具有广泛的应用前景。

本文研究公钥伪随机码（PRC）对抗编辑错误的问题。伪随机码由Christ和Gunn在CRYPTO 2024提出，是一种纠错码，其码字在计算上无法与均匀随机字符串区分，但持有密钥的人可以解码。这一特性为鲁棒且不可检测的水印提供了自然原语，尤其适用于AI生成内容的标记。现有工作已针对替代错误取得强结果，但编辑错误（插入、删除）场景在高码率和小字母表情况下仍不充分。本文首先给出一种新规约，证明能够抵抗恒定比例替代错误的二进制零比特PRC可以转化为抵抗编辑错误的二进制零比特PRC。因此，在任何能够产生零比特汉明鲁棒PRC的假设下，也能得到针对编辑信道的零比特PRC，尽管仅适用于较弱的亚线性多项式编辑信道（即错误率为1/n^γ，γ>0常数）。在高码率场景，本文构造了公钥PRC，在足够大的常数字母表上码率可接近1，在二进制字母表上码率可接近1/2。进一步，若允许字母表大小为poly(λ)（λ为安全参数），则公钥PRC可达到插入-删除信道的Singleton界。这些成果首次在编辑信道上实现了高码率公钥二进制PRC，基于与产生零比特汉明鲁棒PRC相同的假设。本文适合密码学、编码理论、AI安全领域的研究者阅读。