本文研究 Kac 游走（Kac's walk）的伪混合性质，该游走是 SO(n) 上的一种马尔可夫链，在每次迭代中随机选取两个坐标并应用一个随机旋转。伪混合的概念由 Vaikuntanathan 和 Zamir 提出猜想，关注的是：在低复杂度的测试下，短时间演化的轨迹是否与 Haar 测度（即 SO(n) 上的均匀分布）不可区分。这一性质对于随机化算法和密码学中的熵提取具有重要意义。文章首先证明了 Kac 游走的前 k 列在固定精度下，经过 O(n(k+log n)log n) 步后在 Wasserstein 距离上混合，从而解决了 Oliveira 的一个猜想。随后，作者结合表示论中的方差界，证明了若步数 T = ω(nk(k+log n)log n)，则任何归一化到单位 Haar 方差的 k 次多项式，在 T 步后的分布下的期望与在 Haar 测度下的期望相差 o(1)。这一结果表明，低阶多项式统计量无法区分 Kac 游走的短轨迹与 Haar 测度，即伪混合性质成立。作为应用，作者展示了该伪混合估计可用于证明快速 Johnson-Lindenstrauss 变换的有效性，且目标维度与通常的维度相同。该工作为理解 Kac 游走这类高维随机过程的伪随机性提供了理论保证，并可能对设计更高效、更安全的随机化算法有潜在贡献。适合理论计算机科学、随机矩阵理论、密码学以及机器学习理论方向的研究者阅读。

本文针对数据驱动系统中马尔可夫链状态轨迹的隐私泄露问题，提出了一种基于差分隐私的在线隐私化框架。在许多应用中，系统需要依赖马尔可夫链的状态轨迹（如产品信用风险、用户物理位置、上网行为等）进行决策，但这些轨迹往往包含敏感的用户信息。现有方法通常需要离线处理或会引入较大噪声，导致数据效用下降。为此，作者将马尔可夫链建模为加权有向图，边的权重取转移概率的负对数，并将隐私化轨迹中的每个状态定义为与原始敏感状态在最短路径总权重（即距离）上最接近的候选状态。该机制以在线方式工作，即在生成敏感轨迹的同时生成对应的隐私轨迹，无需等待完整轨迹。理论上，作者证明了隐私轨迹以高概率保持与敏感轨迹接近，从而在下游任务中维持高效用；同时，隐私轨迹始终处于原马尔可夫链的典型集内，说明其统计特性与真实轨迹相似。数值实验表明，在 3-差分隐私参数下，所提机制相比现有技术可将熵降低高达 80%，意味着生成的隐私轨迹更接近原始敏感轨迹，且保持相同隐私水平。本文的主要贡献包括：首次针对马尔可夫链状态轨迹提出在线差分隐私框架、基于加权图距离的隐私化机制、以及严格的理论保证和实验验证。适合对差分隐私、马尔可夫链建模和数据驱动隐私保护感兴趣的研究人员阅读。