本文研究了球面 Hellinger-Kantorovich (SHK) 梯度流的稳定性及其在差分隐私 (DP) 中的应用。SHK 几何将运输和反应耦合，其梯度流与生灭 Langevin 动力学一致，可用于从 Gibbs 分布中采样。作者提出了一种扰动理论，针对两个不同势函数 V 和 V'，从相同的初始分布出发，比较它们对应的 SHK 梯度流，并量化势函数差异随时间的传播效应。通过统一的扰动界，获得了对数似然比和 Rényi 散度的无维点态控制；在额外结构条件下，还导出了 KL 散度的界。这些结果被应用于差分隐私中指数机制的近似采样：对数似然比控制提供了基于 SHK 采样器的显式时间相关纯 DP 保证，而 KL 散度界则通过曲棍球棒散度给出近似 DP 证书。此外，本文还推导了一个效用界，将指数机制固有的次优性与有限时间采样误差分离开来。该工作为基于梯度流的隐私保护采样算法提供了理论支撑，揭示了势函数扰动对采样分布隐私保证的影响机制。

该论文研究差分隐私（DP）约束下的分布采样问题。传统方法使用KL散度等密度比度量评估DP采样效用，但存在两个关键局限：1）无法捕捉支撑集的几何结构；2）当分布支撑集不同时不适用。为克服这些局限，作者提出以Wasserstein距离作为效用度量的新框架，并设计了基于Wasserstein投影的Wasserstein投影机制（WPM），该机制在极小化极大意义下最优。此外，还开发了近似计算该机制的高效算法并提供了收敛性保证。该工作为差分隐私采样提供了几何感知的实用工具，适用于需要生成隐私保护且保持数据几何结构样本的场景。