本文研究有限域上的Frobenius线性化算子的一种正规形分类。设K为二元域F_2的有限扩张，σ为K上固定非平凡的Frobenius自同构，其固定子域为F_2。考虑K^3上两个二项式组成的算子L(Y)=AY^σ+BY，其中A、B为3×3矩阵。作者在系数秩和二元核条件下，证明若A和B的K秩都为2，且L在F_2上的一维核，则存在可逆的K线性输入输出变换，使得L等价于规范形(α,β,γ)↦(α^σ+α,β^σ,γ)。该证明通过从两个系数核方向和二元核构造坐标框架实现。在这一坐标下，第一输出行恰好是唯一的非零迹伴随正规元，并得到精确的K值归一化。对于纯σ-二次APN（几乎完全非线性）映射，该结果通过π_F(X)^T F(X)=1识别出orthoderivative；在奇数扩张次数下还得到置换行为和射影平面到其对偶的双射。文中分析了两个具体的构造：Gologlu-Kolsch的三射影构造和Li-Zhou-Li-Qu的范数扭构造，前者具有行列式分解和完全对偶框架，后者展示了纯映射结果无法单独从算子定理推出。此外，Gold表示的系数秩对为(3,3)，限定了秩二子类的范围。该正规形还为已知的分量根和Walsh支撑关系提供了扩域上的精确标签。这些成果对理解APN函数的结构、进而设计抗差分密码分析的S盒具有理论意义。

该论文报告了在8维二元向量空间中搜索二次几乎完美非线性（APN）函数的结果。APN函数是密码学中S-box的理想组件，能提供最优的差分均匀性，抵抗差分密码分析。搜索空间是一个40维的线性子空间，由所有与某个阶为5的线性自同构（Beierle, Brinkmann, Leander 2021分类中的第22类）交换的函数组成，该子空间此前被认为不含任何APN函数。作者采用了两阶段方法：首先通过显式行简化阶梯形参数化进行随机采样（每核每小时约600个APN阳性评估），然后利用Magma中的Gröbner基计算在每个中心点所在的24维超平面中枚举所有APN函数（每个超平面约10分钟）。通过对428个超平面（占总65536个超平面的0.65%）的计算，得到了566个二次APN函数，这些函数在正交导数不变量下划分为6个CCZ等价类。其中四个类（共500个函数）未能匹配2025年包含3,775,599个二次APN函数的数据库，也未见于此前的12,921个实例汇编中，因此被确认为全新发现。另外两个类（66个函数）与已知的Gold函数x^3和x^9 CCZ等价，验证了搜索流程的正确性。成员分析表明，三个新类（B、C、D）完全位于原始搜索子空间之外，且仅出现在以Gold函数为中心的超平面切片中，这突显了Gröbner基阶段的必要性。作为对照，在532个以数据库函数为中心的实验和20个以随机函数为中心的实验中，均未发现任何APN邻居，说明该“门控”现象依赖于搜索空间的自等价结构。由于正交导数不变量是二次APN函数的完全CCZ不变量，缺失匹配签名提供了CCZ不等价的严格证明。