该论文研究了数论变换（NTT）的不确定性原理，并证明了在某些素数条件下，非零函数与其NTT变换的支撑集大小之和至少为q+1（q为给定素数，p为满足p≡1 mod q的素数）。这意味着一稀疏函数（k-稀疏）的变换支撑集至少为q-k+1。进一步，作者还证明了在p=q^{O(1)}范围内的素数平均意义上的概率版本不确定性原理。作为应用，该原理被用于构造一个黑盒身份测试算法，用于验证至多k-稀疏、度数不超过d的指数多项式，在q适度大于k时具有零声音误差。该研究为多项式恒等测试提供了新的理论工具，对密码学、编码理论等领域中涉及NTT的应用有潜在影响。

在基于格的密码学中，多项式乘法是核心运算。数论变换（NTT）能够实现快速乘法，但其系数域模数有严格限制。Hafiz等人（2025）通过引入不完全NTT（incomplete NTT）解决了这一局限，该方案将截断NTT与传统乘法方法结合。本文针对不完全NTT框架下的Toom-4乘法进行了深入研究。尽管Toom-4在渐近复杂度上优于Karatsuba乘法，但其精确成本尚未以与不完全NTT兼容的形式表达。为此，作者给出了Toom-4的具体实现，并推导了显式的运算计数，将系数域上的加法/减法与乘法分开统计。基于加法链的分析，提出了一个简洁的不完全NTT成本模型。利用该模型，分析了结合Toom-4、Karatsuba和不完全NTT的混合策略，确定了Toom-4具有优势的参数范围，并通过实验验证了预测行为的正确性。该工作为格密码实现中乘法方法的选择提供了理论依据，有助于优化性能。

本文是'模格安全性'系列论文的第三部分，聚焦于分圆域Q(ζ_{2^k})的对数单位格上的结构化最近向量问题（CVP）距离。论文首先证明了从随机短环元素到对数单位格的L^2 CVP距离渐近收敛到(π/(2√6))√n，其中n=2^{k-1}。对于k≥4，该目标位于原点的Voronoi胞内。在L^∞范数下，n个子高斯坐标的最大值产生O(√log n)的边界，这转化为短生成元问题的次多项式近似因子。文章还提出了'粗格定理'：Babai算法对所有结构化目标返回零，但能精确恢复任意大小的单位扰动。对于模行列式理想，进一步证明了Trigamma定理，揭示了内在不平衡性σ_{g_0}=O(1)与模q无关。最后，结合前两部分，将ML-KEM的CDPR因子从exp(Õ(√n))降低到次多项式值。该工作为评估后量子密码标准ML-KEM的安全性提供了更紧的理论界。