本文研究了球面 Hellinger-Kantorovich (SHK) 梯度流的稳定性及其在差分隐私 (DP) 中的应用。SHK 几何将运输和反应耦合，其梯度流与生灭 Langevin 动力学一致，可用于从 Gibbs 分布中采样。作者提出了一种扰动理论，针对两个不同势函数 V 和 V'，从相同的初始分布出发，比较它们对应的 SHK 梯度流，并量化势函数差异随时间的传播效应。通过统一的扰动界，获得了对数似然比和 Rényi 散度的无维点态控制；在额外结构条件下，还导出了 KL 散度的界。这些结果被应用于差分隐私中指数机制的近似采样：对数似然比控制提供了基于 SHK 采样器的显式时间相关纯 DP 保证，而 KL 散度界则通过曲棍球棒散度给出近似 DP 证书。此外，本文还推导了一个效用界，将指数机制固有的次优性与有限时间采样误差分离开来。该工作为基于梯度流的隐私保护采样算法提供了理论支撑，揭示了势函数扰动对采样分布隐私保证的影响机制。

本文是'模格安全性'系列论文的第三部分，聚焦于分圆域Q(ζ_{2^k})的对数单位格上的结构化最近向量问题（CVP）距离。论文首先证明了从随机短环元素到对数单位格的L^2 CVP距离渐近收敛到(π/(2√6))√n，其中n=2^{k-1}。对于k≥4，该目标位于原点的Voronoi胞内。在L^∞范数下，n个子高斯坐标的最大值产生O(√log n)的边界，这转化为短生成元问题的次多项式近似因子。文章还提出了'粗格定理'：Babai算法对所有结构化目标返回零，但能精确恢复任意大小的单位扰动。对于模行列式理想，进一步证明了Trigamma定理，揭示了内在不平衡性σ_{g_0}=O(1)与模q无关。最后，结合前两部分，将ML-KEM的CDPR因子从exp(Õ(√n))降低到次多项式值。该工作为评估后量子密码标准ML-KEM的安全性提供了更紧的理论界。