本文提出了一种名为 Sparse Roots of Unity (SPRU) 的新型引导（bootstrapping）算法，用于 CKKS 全同态加密方案。CKKS 是一种支持近似算术的同态加密方案，广泛应用于隐私计算和密文机器学习。在 CKKS 中，密文噪声会随着同态运算而增长，因此需要引导操作来刷新密文、控制噪声并扩展计算深度。原始的 CKKS 引导方法通过同态计算一个近似模约减的多项式来实现，该多项式逼近模 q 的约减操作，但这种方法的乘法深度较大，导致效率受限。与此不同，SPRU 引导直接利用复数单位根来嵌入模 q 的加法群结构，而单位根上的乘法可以在 CKKS 方案中近乎原生地执行，从而避免了高深度的多项式近似。这种设计显著降低了引导所需的乘法深度，进而允许使用更小的环维度，提高了整体效率。作者在 OpenFHE C++ 库中实现了 SPRU 引导，实验表明对于槽数较少的密文，与原始方法相比，引导延迟最多可降低 5 倍。这一成果对于同态加密的实际部署具有重要意义，尤其是在需要在资源受限或低延迟环境中执行深度计算的应用中。论文的核心贡献包括：提出 SPRU 引导的完整算法框架、给出理论分析、提供实现和性能基准。适合同态加密研究者、隐私计算工程师以及关注高性能密文计算的安全从业者阅读。

本文针对RNS-CKKS全同态加密（FHE）方案中缩放因子与模数刚性耦合的问题，提出了一种名为“嫁接”（Grafting）的解耦技术。在标准RNS-CKKS中，缩放因子决定数值精度，模数保证安全性，但两者必须紧密关联，导致设计受限，例如难以找到合适的NTT素数，且精度灵活性不足。本文的核心方法是通过重新设计密钥生成、加密和计算流程，允许在加密过程中独立设置缩放因子，从而打破耦合。具体地，Grafting技术引入额外的转换步骤，使得用户可以在保持相同模数的情况下调整缩放因子，或者在不同缩放因子之间进行切换。实验表明，该方法在不降低安全性的前提下，显著提升了参数选择的灵活性，并减少了因参数不匹配导致的效率损失。主要贡献包括：形式化地定义了缩放因子与模数解耦的必要条件；提出了Grafting算法的具体实现；通过理论分析和实验验证了其正确性与性能优势。本文适合FHE研究人员、密码学工程师以及需要优化同态加密性能的开发人员阅读。