该论文提出一个可在极低深度量子电路中求解、但在标准格基假设下对经典多项式时间算法困难、且可由经典计算机高效验证的采样问题。作者给出了两种量子实现：一种使用对数对数深度（log-log-depth）的量子电路（QNC^0[log log]），另一种使用具有无界扇入门（unbounded fan-in gates）的常数深度量子电路（QAC^0）。该构造可视为将 Arabadjieva 等人（2025）基于 LWE 的单轮量子性证明（proof of quantumness）编译到极低深度。为此付出的代价是依赖更强但动机合理的假设：除原始论文的格知识假设外，还需 LWE 的自适应硬核比特性质的一个强化版本，论文为该性质提供了支持性证据。与以往的低深度量子性证明不同，本方案中的量子计算不需要中间电路测量或前馈，只需运行浅电路并从输出分布中采样。结果表明，浅层量子电路具有足够结构来解决某些经典困难任务，且其解可被高效验证。该成果对量子优势的可验证性、浅层量子计算能力以及后量子密码学中的理论建模均有意义。适合量子计算理论、计算复杂性、量子密码学与可验证量子计算方向的研究者阅读。

本文提出一种求解搜索型LWE问题（Search-LWE）的新代数算法。LWE问题由Regev于2005年引入，是现代密码学与后量子安全的核心假设。目前求解Search-LWE的算法大致分为代数类、组合类和格基类。该工作属于代数方法：其高层思想是将线性代数技术与Groebner基计算中基于S多项式的技巧相结合。作者提供了直接的复杂度分析，避免了以往依赖半正则（semi-regular）假设或通过正则度（degree of regularity）导出复杂度界限的做法。理论分析表明，与先前使用Groebner基求解Search-LWE的结果相比，新算法在复杂度上取得多项式量级的改进。这项工作将有助于更精确地评估基于LWE的密码方案的实例化参数，并为后量子密码的安全性分析提供新的视角。适合对代数密码分析、格密码和计算代数几何交叉领域感兴趣的研究人员阅读。

本文研究学习带误差问题（LWE）中秘密向量的恢复问题，特别关注秘密具有低汉明重量的情况。LWE是后量子密码学的基础假设，其安全性依赖于给定样本恢复秘密的困难性。传统方法通常假设秘密均匀分布，但在许多实际场景（如FrodoKEM、Kyber等方案）中，秘密往往具有稀疏性。作者提出了一种从"完美提示"到"近似提示"的转变：即攻击者可以获得关于秘密的部分信息（如某些位的值或软信息），这些信息可能来自侧信道攻击或协议特性。核心贡献是设计了一种高效的秘密恢复算法，利用低汉明重量和近似提示，将问题转化为求解近似最短向量问题（apprSVP）或使用格基约简技术。实验表明，当秘密汉明重量较低且提示质量较高时，算法能在多项式时间内恢复秘密，比传统格攻击更有效。该工作对LWE参数选择具有指导意义，提示需要避免低重量秘密或限制信息泄露。