该论文报告了在8维二元向量空间中搜索二次几乎完美非线性（APN）函数的结果。APN函数是密码学中S-box的理想组件，能提供最优的差分均匀性，抵抗差分密码分析。搜索空间是一个40维的线性子空间，由所有与某个阶为5的线性自同构（Beierle, Brinkmann, Leander 2021分类中的第22类）交换的函数组成，该子空间此前被认为不含任何APN函数。作者采用了两阶段方法：首先通过显式行简化阶梯形参数化进行随机采样（每核每小时约600个APN阳性评估），然后利用Magma中的Gröbner基计算在每个中心点所在的24维超平面中枚举所有APN函数（每个超平面约10分钟）。通过对428个超平面（占总65536个超平面的0.65%）的计算，得到了566个二次APN函数，这些函数在正交导数不变量下划分为6个CCZ等价类。其中四个类（共500个函数）未能匹配2025年包含3,775,599个二次APN函数的数据库，也未见于此前的12,921个实例汇编中，因此被确认为全新发现。另外两个类（66个函数）与已知的Gold函数x^3和x^9 CCZ等价，验证了搜索流程的正确性。成员分析表明，三个新类（B、C、D）完全位于原始搜索子空间之外，且仅出现在以Gold函数为中心的超平面切片中，这突显了Gröbner基阶段的必要性。作为对照，在532个以数据库函数为中心的实验和20个以随机函数为中心的实验中，均未发现任何APN邻居，说明该“门控”现象依赖于搜索空间的自等价结构。由于正交导数不变量是二次APN函数的完全CCZ不变量，缺失匹配签名提供了CCZ不等价的严格证明。

本文提出了一种面向高维离散路径空间中噪声隐藏路径精确恢复的数学与密码学框架。受路径积分视角启发——其中全局量由大量可能轨迹的贡献累积而成——作者没有去近似全局路径和，而是研究从非完整、有噪声、投影且聚合的可观测数据中恢复单一精确隐藏轨迹的逆问题。隐藏对象是一条人为植入的离散路径，其转移可能包含宏步骤、微观扰动和离散噪声。公开信息由大型可观测向量而非短哈希摘要表示，因为过度压缩会将有效恢复问题限制在摘要大小内。论文形式化了多种恢复概念，包括植入精确恢复、任意见证恢复、规范恢复、商恢复以及派生编码恢复。主要区别在于近似重建和精确恢复是根本不同的任务；一种方法可能揭示粗粒度几何或主导区域，但无法恢复定义隐藏路径的精确微观序列。作者还讨论了与未来密码学使用相关的攻击面，包括线性化、格风格恢复、动态规划、中间相遇攻击、SAT和SMT公式化、近似后舍入、见证碰撞及通用量子搜索。本文未声称构成完整的后量子密码系统，而是为精确隐藏路径恢复作为未来密码学构造的可能基础提供了形式化框架。

本文提出了一种针对基于2-power cyclotomic环的模块格密码系统的概率多项式时间量子攻击。攻击的核心创新在于利用扩域链Q⊂Q(ζ_8)⊂⋯⊂Q(ζ_{2^k})对主理想问题（PIP）进行塔式分解，将高维格上的困难问题转化为低维子域上的可解问题。对于ML-KEM-1024，作者验证了逼近因子γ≤21<q/2=1665，成功概率≥0.99。该量子算法需要O(n^3 log^2 n)个量子门、O(n^2 log n)个量子比特和多项式时间的经典计算。攻击同样适用于Falcon、Hawk、NTRU-HPS和NTRU-HRSS的所有标准化参数集。这一结果意味着，如果攻击被证实正确，那么当前NIST选定的后量子密码标准中基于2-power cyclotomic环的多个方案将不再安全。论文是作者系列工作的第四部分，提供了完整的理论分析和算法复杂度证明。