该论文研究了随机线性码在广泛参数范围内的 discrepancy 性质，证明其几乎具备最优的 discrepancy 性能。作者提出了两个一般性定理：一个控制固定测试集的所有平移，另一个控制大片傅里叶伪随机测试集。作为应用，首先，在容量之上的列表译码场景中，随机线性码与非结构化随机码性能相当：对于有限域上的随机线性码，以高概率同时满足所有汉明球的交集大小与期望值相差很小，这扩展了 Blinovsky (1987) 关于覆盖半径的经典结果。其次，在素数域上，随机线性码在容量之上的零错误列表恢复中匹配非结构化随机码：以高概率同时满足所有矩形（每个坐标大小为 ℓ）的交集大小与期望值接近。由此推论，存在丰富的 n 方线性斜坡秘密共享方案，其隐私阈值约为 n/(2 log q)，重建阈值约为 5n/(2 log q)，且能抵御平衡局部泄漏；此前即使在该场景下，存在性结果也要求阈值高于 n/2。平移结果（因此列表译码应用）适用于任意有限域（甚至随 n 增长），而列表恢复和泄漏应用要求素数域在适度增长下成立（如 q ≤ n^{1/5-o(1)}）。证明采用改进的二阶矩分析，跟踪添加随机生成元时交集大小的变化。本文适合密码学、编码理论及信息论安全领域的研究者阅读。

本文研究最优小集扩张器（optimal small-set expanders）及其在编码理论中的应用。小集扩张器是一种左正则二分图，其左顶点集的任何大小不超过t的子集X至少有α|X|个邻居。如果小集具有尽可能多的邻居，则该图为最优小集扩张器。作者首先从组合角度通过围长（girth）刻画了最优扩张器，并证明了对于任意s，存在s-最优扩张器。进而证明s-最优性能够导出关于大小h≥s的集合邻居数的新“传递”下界。最后，作为应用，讨论了如何利用最优小集扩张器构建用于后量子密码学中密钥交换协议的优秀编码。该工作为设计高效、安全的密码学基元提供了新的理论工具，尤其适用于需要抵抗量子计算攻击的场景。适合对图论、编码理论及后量子密码学感兴趣的数学家和密码学研究人员阅读。